目标
#993 — 所有树的独立多项式都是单峰的
规约路径（Reynolds 2026 框架 + 本项目工作）
路径 1 — 叶子归纳的联合猜想 $P'(n)$
若对任意顶点数 $\le n$ 的树 $T$，IP 单峰，且移除任意叶子后众数移动 $\le 1$，则 #993$(n+1)$ 成立。
- 桥引理 2.16（Reynolds）：众数距离 $\le 1$ 的单峰序列之和仍单峰
- $d = 2$ 情形：定理 2（本工作）—— 众数差 $\le 2$，由桥引理收紧
- $d \ge 3$ 且差 $\le 2$：由桥引理直接得
- $d \ge 3$ 且差 $\ge 3$：缺少质量比子引理
路径 2 — ECMS（边收缩平均位移，Reynolds 猜想 4.3）
对任意树 $T$ 和边 $e$：$|\mu(T) - \mu(T/e)| < 1$，其中 $\mu(T) = I'(T;1)/I(T;1)$ 是独立集大小的期望。
- 局部项 $\in (0, 1/2)$：已证
- 距离 1 项 $|S_1| < 0.355$：Reynolds 命题 4.6
- 距离 $\ge 2$ 项 $< 0.145$：相关衰减部分仍开放
- 本项目经验验证：10 亿+ 条边
路径 3 — 猜想 A（$d_{\text{leaf}} \le 1$ 时众数 $\le \lfloor n/3 \rfloor + 1$）
对每个顶点至多有一个叶邻居的树，众数有上界。
- 均值上界 $\mu(T) < n/3$：Reynolds 推论 3.14
- 猜想 3.6（众数 $\le \lceil \mu \rceil$）：对非对数凹树仍开放
- 本项目验证：170 万+ 棵树，零反例
基础瓶颈 —— 单点删除位移界
对任意树 $T$ 和顶点 $w$：$|\mu(T) - \mu(T \setminus w)| < 1$。
- 经验：11 亿+ 对验证，最大值约 0.6–0.7
- "$\le 1/2$ via FKG" —— 本次被 $K_{1,5}$ 叶子删除 = $0.513$ 反驳
- 朴素相关衰减对最大度 $\ge 3$ 发散，需要更精细的分析
本 session 发现的副猜想
Lobster 对数凹猜想
每棵 lobster 树（距脊路径 $\le 2$ 的树）的独立多项式都对数凹。
验证：21.5 万棵 lobster，100% 对数凹。其中 36% 是对数凹但非实根，所以这个猜想超出了 Wang-Zhu / Bencs 实根技术能处理的范围。
验证：21.5 万棵 lobster，100% 对数凹。其中 36% 是对数凹但非实根，所以这个猜想超出了 Wang-Zhu / Bencs 实根技术能处理的范围。
Lobster $k_{ij} \le 1 \Rightarrow$ 实根
本次被反驳。反例：$K_{1,3}$ 的 IP $= (1+x)^3 + x = 1 + 4x + 3x^2 + x^3$，对数凹但只有 1 个实根（判别式 $= -31$）。
$\mu$ 位移符号 × 最小度模式
对边 $(u,v)$ 的收缩，$\mu(T) - \mu(T/e)$ 的符号由 $\min(\deg(u), \deg(v))$ 决定：
最小度 $\le 2 \Rightarrow$ 恒为正（1.5 亿+ 验证）；最小度 $\ge 7 \Rightarrow$ 恒为负。
$f$ 多项式单峰性
恒等式里的 $f = P_u + P_v - P_{uv}$ 总是单峰的。170 万+ 条边验证。
$|\Delta\mu| \le 0.53$（更紧）
比 Reynolds 的 $< 1$ 更紧的实验上界。8500 万+ 条边支撑。
本 session 已严格证明（仅代数）
- 定理 2：$d = 2$ 情形众数差 $\le 2$
- 定理 3：一般度 $d$，众数差 $\le d$
- 引理 A：$\sigma \ge \varphi-1 \Rightarrow$ 双重下降占优（代数恒等式 $(\sigma-1)(\sigma^2+\sigma-1) \le 0$）
- 恒等式：$I(T_e) = (1+x)\, I(T/e) + x f$，$f = P_u + P_v - P_{uv}$
- 恒等式：$I(T_e) = I(T - e) + x\, I(T \setminus \{u,v\})$
- 恒等式：$I(T) = I(T - e) - x^2 P_{uv}$
- 均值位移公式：$\mu(T_e) - \mu(T) = (1 - \alpha)(1 + \mu(T/e) - \mu(T))$
本 session 被反驳 / 撤回
- ❌ Lobster $k \le 1 \Rightarrow$ 实根（$K_{1,3}$ 反例）
- ❌ $|\Delta\mu| \le 1/2$ via FKG（$K_{1,5}$ 叶子删除 $= 0.513$）
- ❌ "移除一个顶点会单调增加所有 $p_v$" —— 距离 2 处假
- ❌ 朴素相关衰减证 $|\Delta\mu| < 1$（最大度 $\ge 3$ 发散）
- ❌ 最小度 $\le 2 \Rightarrow$ 正位移（规约后又回到 $|\Delta\mu| < 1$）
实验规模
| 猜想 | 验证规模 |
|---|---|
| 顶点删除 $|\Delta\mu| < 1$ | 11 亿+ |
| ECMS $|\Delta\mu_{\text{contract}}| < 1$ | 10 亿+ |
| 联合猜想 $P'(n)$ | 3.76 亿+ |
| $\mu$ 位移符号 × 最小度 | 1.5 亿+ |
| Lobster 对数凹 | 21.5 万 |
| 猜想 3.6（众数 - 均值） | 170 万+ |
| $f$ 多项式单峰 | 170 万+ |
| 原子检查总数 | 约 25 亿 |