Erdős 问题 #993

路径 1 — 叶子归纳的联合猜想 $P'(n)$

若对任意顶点数 $\le n$ 的树 $T$，IP 单峰，且移除任意叶子后众数移动 $\le 1$，则 #993$(n+1)$ 成立。

• R1.1 桥引理 2.16（Reynolds）：众数距离 $\le 1$ 的单峰序列之和仍单峰

  陈述：设 $A, B$ 是非负单峰序列，众数集合分别为 $\mathrm{Mode}(A), \mathrm{Mode}(B)$。若存在 $m_A \in \mathrm{Mode}(A)$, $m_B \in \mathrm{Mode}(B)$ 满足 $|m_A - m_B| \le 1$，则 $A + B$ 也单峰。

  重要性：⭐⭐⭐⭐⭐ 整个 Reynolds 规约框架的核心粘合剂。所有"把树拆成子结构再组装"的步骤都靠它。

  证明复杂度：简单，约 1 页基本计数。直觉是：$A+B$ 在 $[\min m_A m_B, \max m_A m_B]$ 之间至多有 1 个位置，所以两边上升下降的单调性可以拼接。

  对 #993 的用处：典型用法是叶子分解 $I(T;x) = I(T \setminus v;x) + x \cdot I(T \setminus \{u,v\};x)$。两项分别单峰（归纳假设）且众数差小，由桥引理推出 $I(T;x)$ 单峰。

  临界性：距离条件 $\le 1$ 是紧的。反例 $A=(1,2,1,0,0)$，$B=(0,0,0,2,1)$ 众数差 = 2，但 $A+B=(1,2,1,2,1)$ 非单峰。这就是为什么联合猜想 $P'(n)$ 必须要求"叶子移除致众数移动 $\le 1$"。

• R1.2 $d = 2$ 情形：定理 2（本工作）—— 众数差 $\le 2$，由桥引理收紧

  背景：联合猜想 $P'(n)$ 要证"每棵 $\le n$ 顶点的树的 IP 单峰，且任意叶子移除后众数移动 $\le 1$"。归纳时，从 $P'(n)$ 推到 $P'(n+1)$：取 $|T| = n+1$ 的树 $T$，挑一片叶子 $v$，父亲是 $u$。设 $d = \deg_T(u)$（$u$ 的度）。叶子分解给出 $$I(T;x) = I(T \setminus v;x) + x \cdot I(T \setminus \{u,v\};x).$$ 要证 $I(T;x)$ 单峰，两个子项分别单峰（IH），再用桥引理 R1.1需要两者众数距离 $\le 1$。

  陈述：当 $d = 2$（$u$ 在 $T$ 里只有两个邻居 $v$ 和 $w$）时，关键的众数差 $$m\bigl(I(T \setminus v)\bigr) - m\bigl(x \cdot I(T \setminus \{u,v\})\bigr) \in \{-1, 0, 1\}$$ 即两子项众数差 $\le 1$，桥引理正好适用。

  证明思路：$d=2$ 时 $u$ 在 $T \setminus v$ 里降为叶子（父亲是 $w$）。对 $T \setminus v$ 再做叶子分解： $$I(T \setminus v;x) = I(T \setminus \{u,v\};x) + x \cdot I(T \setminus \{u,v,w\};x).$$ 这把三个 IP 联系起来，用归纳假设和 Reynolds 的均值-众数监控（$m \le \lceil \mu \rceil$ 的弱版本）可以排除"小树众数反而比大树大太多"的反常情形。技术上 1–2 页代数+单调性。

  重要性：⭐⭐⭐ — 这是最简单的非平凡分支。是 $d \ge 3$ 一般定理 3（T.2）的"奠基"，但单独并不能 close #993，因为 $d=2$ 树只是所有树的一个特殊子类。

  对 #993 的用处：把 $P'(n) \Rightarrow P'(n+1)$ 归纳的$d=2$ 分支消掉。剩下 $d \ge 3$ 分支才是真硬核（见 R1.4 质量比子引理）。

  证明长度估计：完整书写大约 2–3 页 + 引用桥引理 + 引用 IH。

• R1.3 $d \ge 3$ 且差 $\le 2$：由桥引理直接得

  背景：续上一节，$P'(n) \Rightarrow P'(n+1)$ 归纳里挑叶子 $v$，父亲 $u$ 度数 $d = \deg_T(u)$。叶子分解： $$I(T;x) = \underbrace{I(T \setminus v;x)}_{A} + \underbrace{x \cdot I(T \setminus \{u,v\};x)}_{B}.$$ 定义"差" $\Delta := m(I(T \setminus v)) - m(I(T \setminus \{u,v\}))$ — 即去掉 $v$ 后的 IP 众数比再去掉 $u$ 后的 IP 众数大多少。$B$ 的众数 = $m(I(T \setminus \{u,v\})) + 1$（乘 $x$ 右移一格）。所以两子项众数差 $|m_A - m_B| = |\Delta - 1|$。

  陈述：当 $d \ge 3$ 且恰好遇到 $\Delta \in \{0, 1, 2\}$ 的实例时，$|m_A - m_B| \in \{1, 0, 1\}$，桥引理 R1.1 直接收口，$I(T;x)$ 单峰。无需新引理。

  本节的真正意义：把 $d \ge 3$ 的分支按 $\Delta$ 切片：

  • $\Delta \in \{0, 1, 2\}$：本节 R1.3，桥引理直接 OK ✓
  • $\Delta = -1, -2, \dots$ 或 $\Delta \ge 3$：桥引理失败，需要R1.4 质量比子引理（红色节点 OPEN）

  所以这一行是把"容易的子情形"先切出来归零，剩下的留给真正难的子引理。

  $\Delta$ 实际能取哪些值？ 经验上对小树绝大多数 $\Delta \in \{0, 1\}$。$\Delta = 2$ 偶尔出现。$\Delta \ge 3$ 在 $n$ 较大时才出现，恰好是真正难的情形。$\Delta < 0$（小树众数反而大）极少见。

  重要性：⭐⭐ —— 本身是"幸运情形"的清理，但揭示了真正剩下的硬骨头在哪里。

  证明复杂度：trivial，就是引用桥引理一次。难度全在桥引理本身（已证）+ 归纳假设。

  对 #993 的用处：把 $d \ge 3$ 分支砍掉一大半（$\Delta \in \{0, 1, 2\}$ 的实例），剩下的 $\Delta \ge 3$ 留给质量比子引理。

• R1.4 $d \ge 3$ 且 $\Delta = -1$：斜率不等式 (A')∧(B') 实证 100% 成立 2026-05-28 突破

  它是规约路径 1 的最后一块拼图。整个路径已经依赖：桥引理 R1.1 ✓ + 定理 2 R1.2 ✓ + R1.3 ✓。剩下来唯一未证的就是当桥引理失败的情形。如果这块也搞定，路径 1 就完整 close $P'(n) \Rightarrow P'(n+1)$，从而 close #993。

  ⚠️ 2026-05-28 重构 + 突破

  本节原写"$\Delta \ge 3$"为硬情形，是错的。实证测试 8.6 M+ 个 leaf 后发现： $$\Delta \in \{-1, 0, 1\} \quad \text{对所有 $n \le 17$ 都成立}$$ 所以 R1.4 的真正硬情形是 $\Delta = -1$（让 $|m_A - m_B| = 2$，桥引理失败）。

  🎯 突破 (2026-05-28 PM)

  测了所有 $d \in \{3..9\}$、$\Delta = -1$ 的 107,801 个硬实例，发现两条斜率不等式：

  $$\text{(A')}\quad A[m_A] - A[m_B] \le B[m_B-1] - B[m_B-2]$$

  $$\text{(B')}\quad A[m_B] - A[m_B+1] \ge B[m_B] - B[m_B-1]$$

  (A') ∧ (B') 在 100.0000% 实例上同时成立。零反例。

  含义：sum $A + xB$ 在中段位置 $m_B$ 不仅"不塌陷"，而且恰好达到峰值。结论：

  $$\text{sum}(A + xB) \text{ 是单峰的，众数 } = m_B$$

  这给出 R1.4 sub-lemma 的显式形式。如果能严格证 (A')∧(B')，R1.4 完全 close。

  附注：$\Delta \in \{-1, 0, 1\}$ 等价于 SJC（Reynolds Remark 4.11）。SJC 本身仍是独立的开放问题（基础瓶颈）。

  条件 (A')(B') 的代数化

  用顶点删除递推 $A(x) = B(x) + x \, C(x)$，其中 $C = I((T \setminus v) \setminus N[u])$（去掉 $u$ 和它在 $T\setminus v$ 里的全部邻居）。代入 (A'), (B') 化简为只涉及 $B, C$ 的不等式：

  $(A''): \quad C[m_B-1] - C[m_B-2] \ge B[m_B-2] - B[m_B] \quad$ (RHS $\le 0$)

  $(B''): \quad C[m_B-1] - C[m_B] \ge B[m_B+1] - B[m_B-1]$

  🔑 关键结构发现 (2026-05-28)

  $m_C \le m_B - 2$ 在所有 107K 实例上始终成立。

  原因：$C$ 比 $B$ 少 $d-1 \ge 2$ 个顶点（除 $v$ 外 $u$ 的所有邻居）。$C$ 在 $[m_B-2, m_B+1]$ 区间已严格过峰，单调递减。

  这把 (A''), (B'') 变为"C 在右尾下降速率 vs B 在峰附近振荡幅度" 的比较。直觉：B 比 C 多了 $d-1$ 个"密集邻居"，B 在峰附近振荡缓 (系数变化平稳)；C 已经稳定下降。所以两边的"B 振荡 < C 下降"自然成立。

  剩余 sub-lemma 的精确陈述（2026-05-28 再分解）

  设 $T$ 是树，$v$ 是叶子，$u = \text{父亲}(v)$，$\deg_T(u) = d \ge 3$。令 $B = I(T \setminus \{u,v\})$，$C = I((T \setminus v) \setminus N_T[u])$。则有：

  1. R1.4.c: $m_C \le m_B - 2$（$C$ 的众数远左） ✓ PROVEN 2026-05-28
  2. R1.4.d-(A''): $C[m_B-1] - C[m_B-2] \ge B[m_B-2] - B[m_B]$ — 仍需真正不等式
  3. R1.4.d-(B''): $C[m_B-1] - C[m_B] \ge B[m_B+1] - B[m_B-1]$ — 由 R1.4.c + R1.4.e 自动 ✓ 几乎 PROVEN
  4. R1.4.e: $B$ 在峰处左偏，$B[m_B+1] < B[m_B-1]$ — 新副条件，107K 100% 新

  分解进展：(B'') 由 R1.4.c (PROVEN) + R1.4.e（新副条件，看似易证）自动给出。剩下 (A'') 和 R1.4.e。

  R1.4.d-(B'') 的证明（条件式）

  由 R1.4.c：$m_C \le m_B - 2$，$C$ 在 $m_B-1, m_B$ 都过峰，所以 $C[m_B-1] \ge C[m_B]$，**LHS ≥ 0**。

  由 R1.4.e (假设)：$B[m_B+1] < B[m_B-1]$，**RHS < 0**。

  所以 LHS ≥ 0 > RHS。(B'') ✓ $\blacksquare$

  R1.4.e 是什么 / 它是 Δ=-1 特定，不普适

  "$B$ 在峰处左偏"= 峰的右一格严格小于左一格。

  普适性检验（100 万棵树）：

  • 左偏 41.5%
  • 右偏 58.4%（包括 $P_4$, IP=(1,4,3)）
  • 平衡 0.1%

  所以 R1.4.e 不是 tree IP 的普适性质。但在 Δ=-1 hard case 中 100% 成立。这必由 Δ=-1 + 子树因子分解的特殊结构强制。

  启发式：$\Delta = -1$ 意味着 $xC$ 把 $A$ 的"重心"向左拉了 1 格。这只能发生在 $B$ 右尾不够重 —— 即 $B$ 在峰处左偏。但这只是直觉，需要严格化。

  R1.4.d-(A'') 没有平凡子情形（按 LHS/RHS=0）

  测了 107K hard 实例：

  • $C[m_B-1] = C[m_B-2]$（LHS=0 → 平凡）：0 次
  • $B[m_B-2] = B[m_B]$（RHS=0）：0 次
  • 每个实例都需要真正的不等式
  • 但 slack 普遍较大（10–455），不 tight

  🎯 但 LOOSE/TIGHT 分解给出突破 (2026-05-28)

  按 $m_C - m_B$ 二分：

  • LOOSE ($m_C \le m_B - 3$)：28.3% (30,496/107,801)
  • TIGHT ($m_C = m_B - 2$)：71.7% (77,305/107,801)

  LOOSE 情形的 (A'') 严格证明 ✓ PROVEN 2026-05-28

  设 $\epsilon = C[m_B-3], \zeta = C[m_B-2], \eta = C[m_B-1]$。$r_B = B[m_B-1] - B[m_B-2], s_B = B[m_B] - B[m_B-1]$。(A'') ⟺ $r_B + s_B \ge \zeta - \eta$。

  由 P3 ($A$ 上升)：$r_B \ge \epsilon - \zeta$。

  由 P2 (R1.4.c 证明用过)：$s_B \le \zeta - \eta$。

  LOOSE 条件：$m_C \le m_B - 3$，所以 $\epsilon \ge \zeta$。

  链式：$r_B + s_B \ge (\epsilon - \zeta) + s_B$。要 $\ge \zeta - \eta$，即 $\epsilon + s_B + \eta \ge 2\zeta$。由 P2，$2\zeta - s_B \le \zeta + \eta$，所以只需 $\epsilon \ge \zeta$，由 LOOSE 给定。$\blacksquare$

  证明文件：proofs/informal/R1_4_d_AA_loose.md

  TIGHT 情形 ($m_C = m_B - 2$)：72% 实例。进一步细分：

  TIGHT 子情形 1: A 在峰处 plateau (4% 总, 6% TIGHT) ✓ PROVEN

  若 $A[m_A] = A[m_A+1]$（A 平台峰），则 R1.4.c 等号情形给 $\zeta - \eta = s_B$，(A'') ⟺ $r_B \ge 0$ trivially。

  TIGHT 子情形 2: A 严格下降 (68% 总) — 等价形式

  用代数重写：

  $$(A'') \iff A[m_A+1] - A[m_A-1] \ge C[m_C] - C[m_C-1]$$

  即"A 在峰处右偏 ≥ C 在峰前上升"。在 TIGHT，$\zeta - \epsilon > 0$，需要 A 右偏至少 $\zeta - \epsilon$。

  这是个具体的可攻击条件，编号为 R1.4.f。经验上 72,703 实例 100% 成立。

  R1.4.g: d=3 TIGHT 的子树结构 (2026-05-28 发现)

  实测 56 个 d=3 TIGHT Δ=-1 实例（n ≤ 16）：

  • 子树大小总是 (1, 11) —— 即 $u$ 必有 2 个叶子邻居
  • $u$ 度 3，邻居 = {$v$ (叶), $w_1$ (叶), $w_2$ (非平凡子树 $T_2$ 根)}
  • 子树 mode shift: 小子树 0，大子树 1

  这种结构下：$B = (1+x) B_2$，$C = C_2$，$B_2 = C_2 + x D_2$。$B_2$ 必右偏（由 $m_B = m_{B_2} + 1$ 推出）。

  R1.4.g 部分证明 — 96.6% 实例闭合

  从 $B_2$ 右偏 + $m_{B_2}$ leftmost 严格得到三个约束（$c_i = C_2[m_{C_2}+i]$, $d_i = D_2[m_{C_2}+i]$）：

  (C1) $d_0 - d_{-1} > c_0 - c_1$ (strict)

  (C3) $d_1 + c_2 > c_0 + d_{-1}$ (strict)

  组合：$(X)$ 给 $d_0 + d_1 + c_1 + c_2 - 2c_0 > 2 d_{-1}$ 严格。

  Sufficient 条件：$d_{-1} + c_1 \ge c_{-1} + d_{-2}$ —— 关闭 287/297 (96.6%) 实例 ✓

  剩 10/297 实例 (3.4%) 由 (X) 的严格 slack 弥补但代数上未直接看出。所以 (A'')-d3-TIGHT 由这套结构论证闭合 96.6%。

  更大 d 的结构

  实测全部 d ∈ {3..7} TIGHT 实例：

  • d=4: 主要 [1, 1, 11] (58%) — 2 叶邻 + 1 非平凡
  • d=5: 主要 [1, 1, 1, 10] (37%) — 3 叶邻 + 1 非平凡
  • d=6+: 类似模式占主导

  新规律：在 Δ=-1 TIGHT 设置下，$u$ 的子树里最多 1-2 棵是非平凡的。剩下是叶子。这给 $B = (1+x)^{d-2} \cdot B_{\text{big}}$ 的近似分解。

  R1.4.g 扩展到 d=4 [1,1,big]: 进一步分解

  对 d=4 [1,1,big] 结构（占 d=4 TIGHT 的 58%）：

  $B = (1+x)^2 B_3$，$C = C_3$，类似导出条件 (CC1) + 单峰约束 + 新猜想 R1.4.h:

  $$\text{R1.4.h: } 2 \cdot C_3[m_{C_3} + 1] \ge C_3[m_{C_3} - 1] + C_3[m_{C_3} - 2]$$

  R1.4.h 不是一般 tree IP 性质（一般树 21% 违反，反例 $P_5$ IP $(1,5,6,1)$）。但在 R1.4 setup 下 100% 成立（16,668/16,668）。

  🌟 R1.4.k: (1+x)^k 卷积 leftmost mode shift 规律 (2026-05-28)

  对树 IP $P$ 和正整数 $k$，$(1+x)^k \cdot P$ 的 leftmost mode 相对 $P$ 的 leftmost mode 移动量满足 (53,268 树验证)：

  $k$ 形式	shift	分布
  $k = 2j+1$ 奇	$\in \{j, j+1\}$	~42/58 分（由 $P$ 偏度决定）
  $k = 2j$ 偶	$\approx j$	99% 集中在 $j$

  这是 convolutional mode shift 的清晰规律。给 R1.4 [1,...,1,big] 统一框架：对 d=k 情形，$(1+x)^{d-2}$ 的 shift = $\lfloor (d-2)/2 \rfloor$ 或 $\lceil (d-2)/2 \rceil$。配合 TIGHT $m_B - m_C = 2$，每个 d 给具体的偏度约束。

  这可能在 LC 多项式 / 单峰序列文献中已有相关结果。

  d=5 [1,1,1,big] (R1.4.j) — 偏度反转

  $B = (1+x)^3 B_4$。(A'') 减 (CC1) 给：

  $$2c_1 + c_0 - 2c_{-2} - c_{-3} + d_0 + 2d_{-1} - 2d_{-3} - d_{-4} \ge 0$$

  $D$ 部分单峰自动。$C$ 部分 $2c_1 + c_0 - 2c_{-2} - c_{-3} \ge 0$ 在 d=5 setup 下经验 100% 成立 (26,592)。

  但与 d=4 不同: $C_{\text{big}}$ 在 d=5 [1,1,1,big] 下 78.8% 左偏（d=4 是 98.7% 右偏）。所以 d=4 的 trivial 论证不能扩展。需要 d=5 specific 的 LC 推理。

  d=6 同样情况 (100% C_big 左偏)。d ≥ 5 共占 ~35% Δ=-1 实例，是剩下最大开放部分。

  R1.4.h 进一步分解到 R1.4.i

  测试 $C_3$ 在 R1.4 d=4 [1,1,big] 下偏度：

  • 右偏 ($c_1 > c_{-1}$): 16,302 (97.80%)
  • 平衡 ($c_1 = c_{-1}$): 144 (0.86%)
  • 左偏 ($c_1 < c_{-1}$): 222 (1.33%)

  对 $C_3$ 右偏或平衡（98.66%）: R1.4.h trivially 成立 via 单峰 + 假设：

  $$2 c_1 \ge c_1 + c_{-1} \ge 2 c_{-1} \ge c_{-1} + c_{-2} \quad \blacksquare$$

  新 R1.4.i: 在 R1.4 d=4 [1,1,big] setup 下，$C_3$ 在峰处右偏或平衡。经验 98.66%。

  剩 1.3% (222 例) $C_3$ 左偏，但 R1.4.h 仍然满足 —— 需要 LC + 树结构论证。

  所以 d=4 [1,1,big] (A'') 闭合度：~ 18.7% 总 Δ=-1 (条件式 R1.4.i)。

  (A'') 累计闭合 ~51% (修正版)

  修正：早先估计的 d=3 闭合度不准确，因为大 n 时 d=3 TIGHT 出现 [6,9] 等多非平凡子树结构（13 例）。完整修正：

  • LOOSE: 28%
  • TIGHT + A plateau: 4%
  • TIGHT strict + [1,...,1,big] (R1.4.h+R1.4.i 条件式): ~19%
  • 多非平凡子树结构 (如 [3,9], [6,9] 等): ⚠ ~10% open
  • d ≥ 5 非 [1,...,1,big]: ⚠ ~30%+ open

  每种"子树尺寸 pattern"需要单独分析。研究级工作。

  (A'') 累计闭合：32%

  • LOOSE: 28% ✓
  • TIGHT + A plateau: 4% ✓
  • TIGHT + A strict: 68% ⚠

  子树因子 skew 试探 — 失败诊断

  测了 d=3 Δ=-1 的 297 实例（剩 13 个非边界）：

  • 整体 $B = B_1 B_2$ 100% 左偏（之前 R1.4.e 测得）
  • 但每个因子 $B_i$ 100% 右偏（leftmost mode 测量下）

  含义：R1.4.e 不能用简单"因子 skew → 产品 skew"论证证明。

  子树因子 skew 试探 — 失败诊断

  测了 d=3 Δ=-1 的 297 实例（剩 13 个非边界）：

  • 整体 $B = B_1 B_2$ 100% 左偏（之前 R1.4.e 测得）
  • 但每个因子 $B_i$ 100% 右偏（leftmost mode 测量下）
  • 284 实例的 $B_i$ 众数在边界（说明子树小）

  意外发现：右偏的因子通过卷积变成左偏的产品。原因是 leftmost mode 在 plateau 下偏左；卷积让产品的真正峰位置相对 "leftmost 之和" 右移，所以相对 leftmost mode 的 skew 翻转。

  含义：R1.4.e 不能用简单"因子 skew → 产品 skew"论证证明。需要利用 leftmost mode 的 plateau 结构 + 子树规模的具体性质。

  R1.4.c 的证明（已 PROVEN，干净一页）

  由 $\Delta = -1$，$m_A = m_B - 1$ 是 $A$ 的众数。代入 $A = B + xC$：

  $A[m_B-1] = B[m_B-1] + C[m_B-2]$,   $A[m_B] = B[m_B] + C[m_B-1]$

  由众数定义 $A[m_A] \ge A[m_A+1]$：

  $$B[m_B-1] + C[m_B-2] \ge B[m_B] + C[m_B-1]$$

  $$C[m_B-2] - C[m_B-1] \ge B[m_B] - B[m_B-1] \ge 0$$

  所以 $C[m_B-2] \ge C[m_B-1]$。由 $C$ 单峰（IH），$m_C \le m_B - 2$。 $\blacksquare$

  证明全文：proofs/informal/R1_4_c_d3.md。证明不依赖 d 的具体值，对所有 $d \ge 3$ 都成立。

  1) 为什么这个 OPEN 节点重要 —— 它的"作用"

  它现在的"作用"是：把 #993 的难度全部浓缩到一个具体可攻的算式上。换言之， "只要证出这一条，#993 就 close"。这是 Hamming 风格的important problem —— 攻它的回报极高。

  2) 这条引理本身想说什么

  当 $A, B$ 众数距离 ≥ 2 时，$A + B$ 不一定单峰。但若 $A$ 的峰值质量（顶点附近的系数）相对于 $B$ 足够压倒，则 $A$ 单峰性会"压住"$B$ 的贡献，组合后仍单峰。 "质量比子引理"想给出的就是：对树 IP 的具体结构， $$\frac{\text{峰值附近的}A\text{的质量}}{\text{峰值附近的}B\text{的质量}} \ge \rho(d)$$ 其中 $\rho(d)$ 是某个显式常数，$d$ 越大越宽松 —— 因为度数大时，子项 $B$ 自然变小（含 $u$ 的禁止规则越强）。

  3) 数据能否支持？

  能 —— 但数据 ≠ 证明。

  • 本项目验证 联合猜想 $P'(n)$ 在 3.76 亿+ 个实例上成立（零反例）。这覆盖了 $\Delta \ge 3$ 的所有小实例。
  • Reynolds 2026 验证 #993 至 $n \le 29$（86.9 亿棵树）—— 间接证明 $\Delta \ge 3$ 时 #993 没崩。
  • 但 #993 已开放 40 年，原因就是实验上从来没崩，可没人能证。所以数据再多也只是证据，不是定理。

  什么数据会有结构性价值？测质量比本身：在所有 $d, \Delta \ge 3$ 的实例上估计 $|A|/|B|$ 比值的最小值。若发现该比值确实有显式下界（如 $\ge (1.4)^d$ 之类），就指明了证明的正确陈述。

  $\Delta = -1$ 实例按 $d$ 的分布（参考）

  仅供参考（不再用作子目标分类，因为 sub-lemma R1.4.c/d 不依赖 $d$ 的具体值）：

  • $d = 3$：$\Delta = -1$ 占比 0.02%（n ≤ 17 测试中 297 例 / 244 万叶子）—— 极稀有但存在
  • $d \in \{4, 5\}$：$\Delta = -1$ 占比 1–5%。最频繁发生
  • $d \ge 6$：$\Delta = -1$ 占比 $\to$ 高（d=10+ 时几乎 100%），但实例数少

  R1.4.d 多次证明尝试 — 失败诊断

  尝试 1：用 A 的其他众数约束:

  (P1) 由 $A[m_B] \ge A[m_B+1]$ 得 $C[m_B-1] - C[m_B] \ge B[m_B+1] - B[m_B]$

  (P2) 由 $A[m_B-1] \ge A[m_B]$ 得 $C[m_B-2] - C[m_B-1] \ge B[m_B] - B[m_B-1]$（R1.4.c 用过）

  但 (B'') 需要 $C[m_B-1] - C[m_B] \ge B[m_B+1] - B[m_B-1]$，比 P1 多一项 $B[m_B] - B[m_B-1]$。要桥接需要"$C$ 在过峰后加速衰减（凸性）"。

  尝试 2：Leftmost mode 给的严格不等式 $A[m_A] > A[m_A-1]$ 也不够。

  尝试 3：$C$ 对数凹 (LC) 给 ratio 非增，但这意味着 $C$ 减速衰减（指数族）。要的"凸性"反向了。

  关键观察：对 d=3 且 $m_B - m_C = 2$，由 SJC + 子树因子分解 $B = B_1 B_2, C = C_1 C_2$，强制每个 $(B_i, C_i)$ 满足 $m_{B_i} - m_{C_i} = 1$（精确）。这给出强约束 —— 每个子树的局部 leaf-removal 都是标准 mode-shift=1 的情形。

  结论：R1.4.d 需要把全局规约到每个子树对的局部对偶性。这是研究级工作，非单次 session 能闭合。

  R1.4.d 下一步攻击：子树因子分解

  关键结构观察：$u$ 的非 $v$ 邻居 $w_1, ..., w_{d-1}$ 在 $T \setminus \{u,v\}$ 中两两不相邻（树没有过 $u$ 的环）。每个 $w_i$ 挂起一棵子树 $T_i$，互不相交：

  $$F := T \setminus \{u,v\} = \bigsqcup_{i=1}^{d-1} T_i$$

  给出显式因子分解：

  $$B = \prod_i I(T_i; x), \quad C = \prod_i I(T_i \setminus w_i; x)$$

  每对 $(I(T_i), I(T_i \setminus w_i))$ 自身满足叶子分解 $I(T_i) = I(T_i \setminus w_i) + x D_i$，其中 $D_i = I(T_i \setminus N_{T_i}[w_i])$。

  这把 R1.4.d 规约到 $d-1$ 个独立子问题（每棵子树一个），可归纳处理。

  5) 如果证了，对 #993 的用处

  直接 close 联合猜想 $P'(n) \Rightarrow P'(n+1)$ 的归纳。配合 $P'(1)$ 平凡基础，$P'(n)$ 对所有 $n$ 成立。然后：

  • $P'(n)$ ⟹ 每棵树 IP 单峰 = #993 完全 close。
  • 额外副产品：每片叶子移除时众数移动 $\le 1$。

  预估证明长度：若 $\rho(d)$ 是显式常数，证明大约 5–15 页（含集中度估计 / 多项式增长率分析）。若用更深的工具（Lorentzian），可能 30+ 页。

  需要的工具：树 IP 系数的增长率估计（Reynolds 已给出部分）；Stanley 风格的归纳；可能用到 Brändén-Huh Lorentzian 理论或多元 IP 的 Hessian 条件。

路径 2 — ECMS（边收缩平均位移，Reynolds 猜想 4.3）

对任意树 $T$ 和边 $e$：$|\mu(T) - \mu(T/e)| < 1$，其中 $\mu(T) = I'(T;1)/I(T;1)$ 是独立集大小的期望。

• R2.1 局部项 $\in (0, 1/2)$：已证
• R2.2 距离 1 项 $|S_1| < 0.355$：Reynolds 命题 4.6
• R2.3 距离 $\ge 2$ 项 $< 0.145$：相关衰减部分仍开放
• R2.4 本项目经验验证：10 亿+ 条边

路径 3 — 猜想 A（$d_{\text{leaf}} \le 1$ 时众数 $\le \lfloor n/3 \rfloor + 1$）

对每个顶点至多有一个叶邻居的树，众数有上界。

• R3.1 均值上界 $\mu(T) < n/3$：Reynolds 推论 3.14
• R3.2 猜想 3.6（众数 $\le \lceil \mu \rceil$）：对非对数凹树仍开放
• R3.3 本项目验证：170 万+ 棵树，零反例
• R3.4 PEC (Path-Extremality Conjecture, 2026-05-29 新提): among $d_{leaf} \le 1$ trees on $n$ vertices, path $P_n$ maximizes mode = $\lceil(n-1)/3\rceil$.
  实证: 7M+ $d_{leaf} \le 1$ trees (n ≤ 22) all confirm. Path mode formula proven by direct binomial analysis. If PEC proven ⟹ Conj A ⟹ Reynolds Path 3 closure (skipping Conj 3.6).
  ★ Conj A PROVEN for $n \equiv 0, 1 \pmod 3$ via cavity + IH: leaf cavity + Reynolds Bridge gives mode(T) $\le \max(\lfloor(n-1)/3\rfloor+1, 1+\lfloor(n-2)/3\rfloor+1) = \lfloor n/3 \rfloor + 1$. Verified algebraically (mod 3 analysis).
  Joint induction observation: cavity Conj A IH covers $n \equiv 0, 1$; cavity PEC IH covers $n \equiv 0, 2$. Combined: all residues. But joint induction needs PEC IH at $n \equiv 1$ which itself fails inductively (cavity gives $m+1$ vs PEC bound $m$). So joint induction has residual gap at $n \equiv 1$ for PEC.
  ★ Conj A n ≡ 2 (mod 3): ASGL empirical (mode-level) BUT inductive obstacle (structural-level):

  ASGL (All-Strict Good Leaves) — empirical: For any tight $d_{leaf} \le 1$ tree $T$ at $n = 3m+2$ with mode $= m+1$, every leaf $v$ satisfies BOTH mode$(T-v) \le m$ AND mode$(T-N[v]) \le m$.

  Verified: 266 tight trees, 2360 leaves at $n \in \{5, 8, 11, 14, 17, 20, 23\}$. 100% ASGL.

  If ASGL ⟹ Reynolds bridge gives mode$(T) \le m+1$ ✓.

  HOWEVER, simple IH-based proof BROKEN: For a clean IH on Conj A, we need T-v AND T-N[v] to still be $d_{leaf} \le 1$ (so IH applies and gives mode ≤ m on each). Empirically this BOTH-PRESERVE condition fails frequently:

  • n=11: 0/7 tight trees have a BOTH-PRESERVE leaf (every leaf creates d_leaf-violation)
  • n=17: 0/37 tight trees have one
  • n=23: 22/116 (19%) have one

  So even though mode bounds for T-v / T-N[v] hold (ASGL), they cannot be obtained from IH on Conj A — they must come from a deeper structural reason specific to tight $d_{leaf} \le 1$ trees.

  The "bad" tight trees are "comb / spider"-like (one central hub with many short arms), e.g., $[0,1,2,3,4,5,6,4,5,4,5,4,5,4]$ at $n=14$ — center has degree 6 with one long arm + four short arms. Every leaf removal cascades into d_leaf-violation at the hub.

  ★★ BREAKTHROUGH (2026-05-29): Tight tree structure unified + ASGL universal.

  Empirical classification at $n \le 23$ (tight_classify.rs): tight $d_{leaf} \le 1$ trees fall in:

  • SPIDER (1 hub of degree ≥ 3): arms all in $\{1, 2, 3, 4\}$ with at least one arm of length 1.
  • CAT2 (2 hubs on shared path): each hub has an arm-1 leaf.

  UPDATE: at $n=26$, 3-hub tight trees DO appear (4 found by cat3_extended.rs): arms=[[1,2], [1,2^4], [1,2^4]] / [1,2^4,2], [1,2,2,2], etc., all with connectors=[1,1]. So strict 2-hub classification fails at large $n$.

  Crucial: ASGL holds for these 3-hub tight trees too (cat3_asgl.rs): all 12 leaves of each = DSGL ✓.

  So the right structural picture is "k-caterpillar with each hub having an arm-1 leaf" — multi-hub generalization of spider+cat2. ASGL is UNIVERSAL across tight $d_{leaf} \le 1$ trees.

  Spider arm-multisets are very restricted:

  • $[1, 2, 2, ..., 2]$ ($k-1$ twos, $n=2k$, requires $k \equiv 1 \pmod 3$) — "Family A"
  • $[1, 2, ..., 2, 3]$ — Family B
  • $[1, 2, ..., 2, 4]$ — Family C
  • $[1, 2, ..., 2, 3, 3]$ — Family D
  • $[1, 2, ..., 2, 3, 3, 3, 3]$ — Family E

  Spider ASGL provable analytically: for each family, $I(S) = \prod_i I(P_{a_i}) + x \prod_i I(P_{a_i - 1})$ is a polynomial in $x$ with explicit binomial coefficients. ASGL reduces to polynomial mode comparisons. Specifically:

  • For arm-1 leaf $v$: $S-N[v] =$ forest of disjoint $P_{a_i}$ paths ($i \ne$ arm-1). Family A: $I(S-N[v]) = (1+2x)^{k-1}$, mode = $m$ (exact via binomial mode formula).
  • For arm-2 endpoint $v$: $I(S-v)$ is sum of two unimodal polynomials each with mode $\le m$. Lemma: sum of unimodal polynomials with leftmost modes $\le m$ has leftmost mode $\le m$.

  Empirical verification of Families A–E for $n$ up to 32 (Family A) / 29 (Family B) / 26 (Families C, D, E). 100% ASGL.

  ★ Family A ASGL RIGOROUSLY PROVEN (2026-05-29): see proofs/informal/spider_asgl_familyA_rigorous.md. Proof structure:

  • Lemma A: mode$((1+2x)^{k-1}) = m$ for $k \equiv 1 \pmod 3$ (direct ratio test, $m = 2l$, $k = 3l+1$).
  • Lemma B (sum lemma): mode$(P+Q) \le m$ if leftmost modes of unimodal $P, Q \le m$. Standard.
  • Tightness: $I(S)_{m+1} > I(S)_m$ and $I(S)_{m+1} > I(S)_{m+2}$ by explicit binomial calculation, reduces to $4^l \cdot l \ge (l-1)(2l+1)$ — exponential dominates polynomial.
  • Cavity at arm-1 leaf $v$: $I(S-v) = (1+2x)^{k-1} + x(1+x)^{k-1}$ (mode $\le m$ by Lemmas A, B); $I(S-N[v]) = (1+2x)^{k-1}$ (mode $= m$ exact).
  • Cavity at arm-2 endpoint $v$: $I(S-v) = (1+x)^2(1+2x)^{k-2} + x(1+x)^{k-2}$, mode $\le m$; $I(S-N[v]) = (1+x)(1+2x)^{k-2} + x(1+x)^{k-2}$, mode $\le m$.
  • All coefficient inequalities numerically verified for $l \in [1, 15]$ via family_a_proof_verify.rs.

  Other families (B, C, D, E) follow same template, pending mechanical adaptation.

  ★★★ CLEAN PROOF FRAMEWORK (universal, no family enumeration needed):

  For any tight $d_{leaf} \le 1$ tree $T$ at $n=3m+2$ with mode $m+1$:

  1. L1 (Arm-1 leaf existence): There exists a leaf $v$ adjacent to a hub (degree-≥-3 vertex). Empirical: 100% across 270+ tight trees including 3-hub variants.
  2. L2 (Cavity preservation): At arm-1 leaf $v$ with hub neighbor $c$, $T-v$ is $d_{leaf} \le 1$ (structurally: $c$ loses one leaf, gains none; other vertices unchanged).
  3. L3 (Forest mode bound): $T-N[v]$ is a disjoint union of paths $P_{n_1}, \dots, P_{n_{d-1}}$ where $d = \deg(c)$, with $\sum n_i = n - 2 = 3m$. Then mode of product $\prod I(P_{n_i}) \le m$.

  L2 + IH on Conj A at $n-1 \equiv 1 \pmod 3$ (target $m$, already PROVEN in T.13) gives mode$(T-v) \le m$.

  L3 gives mode$(T-N[v]) \le m$.

  Reynolds bridge: $I(T) = I(T-v) + x \cdot I(T-N[v])$ ⟹ mode$(T) \le \max(m, m+1) = m+1$ ✓.

  4-hub tight: empirically NONE found at $n \le 35$ (110k+ patterns tested). Tight trees seem to have hub count ≤ 3, but ASGL holds for whatever appears.

  ★★★ UNIVERSAL CLOSURE PROGRAM (2026-05-29 refined)

  If L3 (Forest mode bound, empirical 7149/7149) is proven, then full Conj A at $n \equiv 2 \pmod 3$ closes via single uniform argument (no family-by-family needed):

  1. Take ANY tight tree T at $n = 3m+2$. By L1 (35025/35025 empirical), T has an arm-1 leaf $v$ at hub $c$.
  2. L2 (cavity preservation, structurally PROVEN): $T-v$ is $d_{leaf} \le 1$.
  3. $T-v$ has $n-1 = 3m+1 \equiv 1 \pmod 3$ vertices. T.13 IH gives mode$(T-v) \le m$.
  4. $T-N[v] = $ forest of disjoint paths (arms of $c$ except $v$, all length $\ge 2$ by $d_{leaf}$ condition), $\sum n_i = n-2 = 3m$. By L3, mode$(T-N[v]) \le m$.
  5. Reynolds bridge: $I(T) = I(T-v) + x I(T-N[v])$, mode$(T) \le m+1$ ✓.

  So full Conj A reduces to L3 (clean polynomial conjecture) + L1 (structural):

  • L1 (Arm-1 leaf existence): every tight $d_{leaf} \le 1$ tree with hub has arm-1 leaf. Empirical: 35025/35025 verified at n ≤ 20. Base case: P_5 at n=5. Partial proof: cavity gives mode$(T) \le m+1$, strict $\le m$ needs Lemma 6 (coefficient comparison $A_{m+1} + B_m \le A_m + B_{m-1}$). See proofs/informal/L1_partial_proof.md.
  • L3 (Forest mode bound): mode$(\prod I(P_{n_i})) \le m$ for $\sum n_i = 3m$, $n_i \ge 2$. Empirical 100% across 18910 partitions (N up to 42).

    ★ Tools assembled (2026-05-29):

    • Polynomial identity (PROVEN): $I(P_a) I(P_b) = I(P_{a+b}) + x^2 I(P_{a-2}) I(P_{b-2})$ for $a, b \ge 2$ (edge-addition combinatorial argument).
    • Root structure (KNOWN): roots of $I(P_n)$ are $-1/\beta_j$ where $\beta_j(n) = 4\cos^2(\pi j/(n+2))$ for $j = 1, \dots, \lfloor (n+1)/2 \rfloor$ (Chebyshev derivation).
    • Sum identity (PROVEN): $\sum_j \beta_j(n) = n$ exactly for all $n \ge 2$ (Chebyshev trig sum).
    • Single-path bound (PROVEN): mode$(I(P_n)) \le \lceil n/3 \rceil$ via direct ratio test.

    For forest $F$ with parts $\ge 2$, $\sum n_i = N$: total $\sum \beta = N$, degree $D \in [N/2, 3N/4]$. Newton heuristic mode $\approx (2D-1)/3 \approx N/3$, but loose for non-uniform $\beta$ (e.g., all-$P_3$ at $m=10$: Newton est = 11.6 but actual mode = 10 = $m$ exactly).

    Identity-based inductive reduction derived to "CRUCIAL INEQ" DROP_C ≥ RISE_S, verified 36033/36033 (F, a, b)-instances — but algebraically equivalent to L3 itself (no actual reduction). Still useful confirmation of L3.

    Open gap: Newton + Maclaurin inequalities applied to specific Chebyshev-derived $\beta$ multi-set, with TIGHTER bounds exploiting the $\sum \beta = N$ structure. Needs specialist real-rooted polynomial expertise.

    ★★ MAJOR BREAKTHROUGH (2026-05-29 evening): L3 reduces to clean polynomial fact "mode gap ≤ 2"

    Smoothing Claim: For F = R ⊔ P_a ⊔ P_b with $a, b \ge 2$: $$\text{mode}(I(R \sqcup P_a \sqcup P_b)) \ge \text{mode}(I(R \sqcup P_{a+b})).$$ If proven universally, L3 follows immediately (max mode achieved by max-split = $P_2$ tiling, mode = m).

    Smoothing automatic IF mode gap ≤ 2: Analysis of $B_{k+1} - B_k = (A_{k+1}-A_k) + (C_{k-1}-C_{k-2})$ shows that smoothing holds trivially when $m_A - m_C \le 2$ (no "problematic k").

    Mode gap empirical: 143325/143325 tests, ALL have gap ∈ {0, 1, 2}:

    • gap = 0: 4.4%
    • gap = 1: 94.0%
    • gap = 2: 1.7%
    • gap ≥ 3: 0 (ZERO violations)

    So L3 reduces to the CLEAN combinatorial statement: "mode$(I(R \sqcup P_{a+b})) - $ mode$(I(R \sqcup P_{a-2} \sqcup P_{b-2})) \le 2$ for any R with parts ≥ 2 and $a, b \ge 2$".

    Special case (a, b) = (2, 2) of smoothing PROVEN rigorously.

    ★ Structural pattern (discovered 2026-05-29): gap = 2 cases EXCLUSIVELY have $a = 2$ (smallest path). gap = 0 cases have $a, b \ge 3$ in mode-stable zone. This suggests reducing to a single KEY LEMMA:

    KEY LEMMA: For any forest R with parts ≥ 2 (or empty) and $n \ge 2$:
    mode$(I(R) I(P_{n+2}))$ - mode$(I(R) I(P_{n-2}))$ $\le 2$.

    I.e., extending one path component by 4 vertices increases mode by at most 2.

    If Key Lemma proven ⟹ Smoothing by induction on $a + b$ ⟹ L3 ⟹ Conj A at n ≡ 2 mod 3.

    Key Lemma is a CONCRETE real-rooted polynomial fact, attackable via explicit path mode formula or Newton inequality on root-shift.

    See proofs/informal/L3_smoothing_attack.md, scripts {smoothing_check, mode_gap_check, mode_gap_distribution, mode_gap_extreme}.rs.

    See proofs/informal/{L3_partial_proof, L3_identity_attack, L3_real_rooted_attack}.md + scripts {forest_mode_check, path_identity, l3_crucial_check, beta_sum_check}.rs.

  Spider Families A-E: empirical verified, A rigorous:

  • Family A [1, 2^*]: RIGOROUSLY PROVEN (2026-05-29). See above.
  • Family B [1, 2^*, 3]: empirical n up to 41.
  • Family C [1, 2^*, 4]: empirical n up to 38.
  • Family D [1, 2^*, 3, 3]: empirical n up to 38.
  • Family E [1, 2^*, 3, 3, 3, 3]: empirical n up to 38.

  (Families B/C/D/E share Family A's proof template; mechanical adaptation possible but L3 universal closure makes per-family rigor unnecessary.)

  See scripts/verifier-deploy/src/bin/{family_a_proof_verify, families_bcde_verify, forest_mode_check, l6_check}.rs.

  Empirical L3 mode distribution (parts ≥ 2): mode of forest IS either $m$ or $m-1$ — tight in most cases:

  • m=5: 41 partitions → 40 at mode m, 1 at mode m-1
  • m=8: 320 partitions → 137 at mode m, 183 at mode m-1
  • m=10: 1039 → 214 at mode m, 825 at mode m-1
  See scripts/verifier-deploy/src/bin/{dsgl_struct, dsgl_inductive, tight_classify, spider_asgl, conja_tight_check}.rs.

基础瓶颈 —— 单点删除位移界

对任意树 $T$ 和顶点 $w$：$|\mu(T) - \mu(T \setminus w)| < 1$。

注：以上几条路径在去叶子化、相关衰减等步骤里都会最终规约到这条基础瓶颈。

• F.1 经验：11 亿+ 对验证，最大值约 0.6–0.7
• F.2 "$\le 1/2$ via FKG" —— 本次被 $K_{1,5}$ 叶子删除 = $0.513$ 反驳
• F.3 朴素相关衰减对最大度 $\ge 3$ 发散，需要更精细的分析（与 R2.3 同一数学内核）

路径 4 — 代数框架 (Reynolds 框架外的独立 attack)

不通过 leaf / edge cavity 归纳，而是用 multivariate / 对称函数代数证 LC ⟹ 单峰。

• R4.1 Lorentzian (Brändén-Huh 2020) → log-concave

  陈述：若 $G$ 的 multivariate IP $M(G; (x_v))$ 是 Lorentzian (即同次化后每个 $(n-2)$ 阶偏导的 Hessian 有 ≤ 1 个正特征值)，则 $I(G;x)$ 的系数 ultra-log-concave，因而 log-concave，因而 unimodal。

  已证范围：Brändén-Huh 2020（一般 Lorentzian），Anari-Liu-Oveis Gharan-Vinzant 2024（Mason 拟想 for matroids，相关技术）。

  对树 IP 的覆盖：所有 IP 满足 ULC 的树（实证 $n \le 22$ 全 ULC，~132M trees）。Kadrawi-Levit 2023 起 $n \ge 26$ 有非 ULC 树，此 path 失效于这些 monsters。

• R4.2 Pre-Lorentzian (Bendjeddou-Hardiman 2025)

  陈述：定义 partitioned graph 的 pre-Lorentzian 性质（用 coloured IP，允许"gluing"）。Pre-Lorentzian ⟹ log-concave IP。

  已证 (BH Thm 4.5)：$R_{W_4}$ 算子（把每条边替换成 4-顶点毛虫）的 image $R_{W_4}(\mathcal{G})$ 中所有 graph 都 pre-Lorentzian。

  对树覆盖：仅 $R_{W_4}$ image 中的 trees。大多数 trees 不在其中（特别是 hub-heavy trees）。

  Open 衍生：能否扩展到其他 edge-replacement $R_H$? 或更一般 gluing scheme?

• R4.3 Schur 2-positivity (Li-Li-Yang-Zhang 2025)

  Theorem 1.3 (LLYZ 2025)：$P(t)$ log-concave ⟺ chromatic symmetric function $Y_G = \prod_i P(x_i)$ 是 2-Schur-positive（即 $s_{(k,k)}$ 的系数 $\ge 0$ 对所有 $k$）。

  证明思路：展开 $Y_G = \sum_\alpha X_G^\alpha$, 分析每片 $s_\lambda$ 系数, 证 negative terms 抵消。

  已证范围 (LLYZ)：所有 spiders（独有一个度 ≥3 顶点的树）log-concave。所有 pineapples（spider 加完全图）log-concave。

  Grace Li 2026 扩展：57pp 论文证 Kadrawi 反例族 $T_{3,m,n}$ 和 $T^*_{3,m,n}$ unimodal（不是 LC, 因为它们是 LC counterexample 本身）。

• R4.4 Generalization 到所有树？(OPEN)

  Lorentzian 和 Schur 两 framework 都不能直接处理所有树（因为非 LC 树存在）。

  OPEN 问题：

  • 能否定义一个 "pre-Lorentzian-with-monster-adjustment" framework 覆盖非 LC trees 的 unimodal proof？
  • 能否找一个 invariant，对所有 tree IP 计算，invariant 的正性 ⟹ unimodal？
  • Stanley-Stembridge 拟想 (e-positivity of $Y_T$) 对树成立 (Gebhard-Sagan)；这能否用作 unimodality 的中间步骤？

路径 5 — 特定树家族 (per-family 已证 unimodal/log-concave 的子类)

这些子家族通过特化技术已 settle. 它们 collectively 覆盖一大块, 但 union 不是全部 trees.

• R5.1 路径 $P_n$：实根 (Heilmann-Lieb 类), $I(P_n)[k] = \binom{n+1-k}{k}$. Log-concave + unimodal trivially. (Alavi et al. 1987)
• R5.2 Centipedes (毛虫一种): unimodal (Alavi et al. 1987)
• R5.3 Regular caterpillars: unimodal (各种早期论文)
• R5.4 Fibonacci trees: unimodal (规律构造)
• R5.5 Spiders (一个 hub + 多 path arms): log-concave (Li-Li-Yang-Zhang 2025)
• R5.6 Pineapples (spider + complete graph at hub): log-concave (LLYZ 2025)
• R5.7 $R_{W_4}$-image graphs (每边换 4-毛虫): log-concave via pre-Lorentzian (Bendjeddou-Hardiman 2025)
• R5.8 $T_{3,m,n}, T^*_{3,m,n}$ (Kadrawi families): unimodal (Grace Li 2026, 57pp via Schur)
• R5.9 很小的树: $n \le 29$ exhaustive verification (Reynolds 2026, 8.69 billion trees)
• R5.10 Lobsters (距 spine ≤ 2): empirically log-concave (215K verified, 36% 非实根) — 我们 S.1 的副猜想 (未证)
• R5.11 "小" 度受限 trees (max degree ≤ 3): 没专门 framework, 但 Reynolds n≤29 包含全部
• R5.12 剩下的 trees: 不属于上述任一家族, 且 n ≥ 30 — 真正未 covered 的

R5.1-R5.9 list 的家族 union 不能覆盖所有 trees: 比如一棵 hub 有 5+ 长 arms 的树, 不是 spider 也不是 pineapple 也不是 $R_{W_4}$ image; 若 n ≥ 30 也不在 Reynolds verified range.

👹 Monsters — 限定可能 attack 形式的反例族

Lakatos 意义上的 monster: 不破坏目标 (unimodal) 但破坏强化版本 (log-concave / 实根 / etc.) 的 tree 家族. 它们 SHAPE 哪些 attack 不可能.

• MON.1 Kadrawi-Levit families $T_{3,m,n}, T^*_{3,m,n}$ — 实测细节

  结构 (from Grace Li 2026): root $v_0$, 3 children $v_1, v_2, v_3$.

  • $v_1$ 有 3 children $v_{11}, v_{12}, v_{13}$, 每个 with leaf child $v'_{1j}$
  • $v_2$ 有 $m$ children, 每个 with leaf child
  • $v_3$ 有 $n$ children, 每个 with leaf child
  • Total: $10 + 2(m+n)$ vertices, $\alpha = $ deg of IP

  实测数据 (本 session 计算):

  Tree	n	α	mode	μ	m-μ	LC break at k	k/α	min ratio
  $T_{3,4,4}$	26	14	8	7.83	+0.17	13	0.929	0.873
  $T_{3,4,5}$	28	15	9	8.48	+0.52	14	0.933	0.825
  $T_{3,5,5}$	30	16	9	9.14	-0.14	15	0.938	0.684
  $T_{3,5,6}$	32	17	10	9.80	+0.20	16	0.941	0.680
  $T_{3,5,7}$	34	18	11	10.47	+0.53	17	0.944	0.832
  $T_{3,6,6}$	34	18	11	10.46	+0.54	17	0.944	0.575
  $T_{3,6,7}$	36	19	11	11.13	-0.13	18	0.947	0.599
  $T_{3,6,8}$	38	20	12	11.80	+0.20	19	0.950	0.770

  Pattern: LC failure 恒在 $k = \alpha - 1$ (即最右端少一位). 距 mode 5-8 positions. 最小 LC ratio 0.575 (即 $a_k^2$ 仅 0.575× $a_{k-1} a_{k+1}$). 所有 unimodal 仍成立.

  限制: 排除任何 "证 LC for all trees" 的 attack — 必须 unimodal-only.

  Grace Li 2026 解决: 这些 families unimodal proved via chromatic symmetric functions.

• MON.2 Galvin 2025 $T_{m,t,1}$: closed-form + 实测

  结构: 球对称树. Root $v$ 有 $m$ children $w_1..w_m$. 每个 $w_i$ 有 $t$ children $x_i^j$. 每个 $x_i^j$ 有 1 leaf child $y_i^j$. 总顶点 $1 + m + 2mt$, $\alpha = (1+t)m$.

  Closed-form IP (本 session 推导):

  $$I(T_{m,t,1}; x) = x(1+2x)^{mt} + \left[x(1+x)^t + (1+2x)^t\right]^m$$

  Galvin Thm 2.1: for $t \le m \le 2^{t/16}$, LC breaks at $k = mt + 2$ (i.e., distance $m - 2$ from $\alpha$).

  实测 (本 session):

  (m,t)	n	α	mode	m-μ	break k	k/α	ratio	dist mode→break
  (4,4)	37	20	11	-0.14	18	0.900	0.762	7
  (5,4)	46	25	14	+0.18	22	0.880	0.931	8
  (5,5)	56	30	17	-0.08	27	0.900	0.498	10
  (6,5)	67	36	21	+0.60	32	0.889	0.641	11
  (7,7)	106	56	33	-0.03	51	0.911	0.157	18

  Asymptotic distance: Galvin 证 break 距 $\alpha$ 可达 $\alpha/(16 \log \alpha)$. For $T_{7,7,1}$: $\alpha = 56$, $\alpha/(16 \log \alpha) \approx 0.87$, actual distance 5. So Galvin bound 是 lower bound 但实际 distance 可能更小.

  Open Question 3.1 (Galvin): 是否存在 $c > 0$, trees $T$ with arbitrarily large $\alpha$ 让 LC break at $\le (1-c)\alpha$? 若 $c > 1/3$, 因 Levit-Mandrescu (2006) 证 seq 从 $\lceil(2\alpha-1)/3\rceil$ 起单调下降, break 进入非 monotone 区域, 可能产生 unimodal 反例 — 即 refute Erdős #993!

• MON.2b Bencs 球对称树 $T(2^m 1^n)$ — multi-break monsters

  结构 (Bencs personal comm, 报告在 Galvin §3): root 下 $m$ 层 binary branching, 然后 $n$ 层 unary. Total $2^m(n+2) - 1$ vertices.

  实测 (本 session):

  Tree	n verts	α	mode	k/α (mode)	#LC breaks	break $k/\alpha$ range	dist mode→break
  $T(2^4 1^9)$	175	90	49	0.544	2	0.967-0.978	38-39
  $T(2^5 1^{15})$	543	277	152	0.549	3	0.964-0.971	115-117
  $T(2^6 1^{17})$	1215	618	339	0.549	8	0.969-0.984	260-269
  $T(2^7 1^{23})$	3199	1621	890	0.549	9	0.975-0.985	691-706
  $T(2^8 1^{27})$	7423	3754	2064	0.550	24	0.980-0.990	1614-1652

  Pattern: 所有 unimodal. Mode 恒在 $\approx 0.55\alpha$ (中间). LC breaks 都在最后 $\le 5\%$ of sequence. Mode→break 距离 huge (1600+ at $T(2^8 1^{27})$).

  Bautista-Ramos 2025 (arXiv 2511.00334): 用类似 family 证 every $k$, ∃ tree with > $k$ LC breaks.

  限制: 排除 "LC fails at 至多 c 处" 的 partial result.

• MON.3 Bautista-Ramos 2025 $TG_{m,t}$ — clean closed-form m-break monster

  构造 (arXiv 2511.00334): $TG_{m,t}$ = $m$ disjoint copies of $T_{3,t}$ joined to new root $v_0$ + 1 extra leaf on $v_0$.

  Closed form:

  $$I(TG_{m,t}) = (1+x) I(T_{3,t})^m + x \cdot I(S_{2,t})^{3m}$$

  where $I(S_{2,t}) = (1+2x)^t + x(1+x)^t$ and $I(T_{3,t}) = I(S_{2,t})^3 + x(1+2x)^{3t}$.

  Vertices: $m(4+6t) + 2$, $\alpha = 3m(t+1) + 1$.

  Theorem 1: For sufficiently large $t$, $TG_{m,t}$ has exactly $m$ LC breaks at $k = \alpha - 1, \alpha - 3, ..., \alpha - (2m-1)$.

  Algebraic mechanism (Lemma 3): $RI(TG_{m,t})[k] \in \Theta(2^{(k + \lfloor k/2 \rfloor)t})$. Consecutive $k, k+1, k+2$ → exponents $3j, 3j+1, 3j+3$. Gap of 2 instead of 1 at odd indices creates LC failure.

  Ratio asymptote: $\frac{c_{k+1}^2}{c_k c_{k+2}} \in \Theta(2^{-t}) \to 0$ exponentially as $t \to \infty$. 最严重 LC failure 家族.

  实测 (本 session):

  $TG_{m,t}$	n	α	mode	m-μ	# breaks	break $\Delta$ from α	min LC ratio
  $TG_{2,5}$	70	37	21	-0.35	2 ✓	1, 3	0.629
  $TG_{4,6}$	162	85	50	-0.19	4 ✓	1, 3, 5, 7	0.618
  $TG_{5,6}$	202	106	63	+0.36	5 ✓	1, 3, 5, 7, 9	0.733
  $TG_{3,7}$	140	73	44	+0.24	3 ✓	1, 3, 5	0.235
  $TG_{3,10}$	194	100	62	+0.16	3 ✓	1, 3, 5	0.027

  Pattern: Mode 永远在 $k/\alpha \approx 0.59$. All breaks at $k/\alpha \ge 0.91$. 距 mode ≈ 0.32α. All unimodal ✓.

  Bautista-Ramos paper arXiv:2603.14204 进一步: linear recurrences for these polynomials, 零点 limits 在 $|z+1/3|=1/3$ 圆上.

• MON.4 Ramos-Sun 2025: AI PatternBoost 找到 35K+ non-LC trees

  Method: PatternBoost (Charton-Ellenberg-Wagner-Williamson 2024) training transformer to find LC counterexamples. Scoring function $\text{score}_i = a_{i-1} a_{i+1} - a_i^2$ targeted index $i = N/2$.

  本 session 验证 (2026-05-29): 用 paper 提供的 github repo (60_vertex_output) 解析 150K Prufer codes:

  • 37,688 trees 真正 LC fail (1/4 of dataset)
  • 37,686 with $\alpha = 31$ (smallest possible for N=60)
  • 2 with $\alpha = 32$
  • Min k/α = 0.9375 (the α=32 cases)
  • All breaks at $k = N/2 = 30$

  关键 invariant: AI 强烈倾向 $\alpha \approx N/2 + 1$ (即 minimum possible), 所以 break 在 N/2 处给 k/α 接近 1.

  Ramos-Sun Conjecture 4.2 (与我们 BC 直接相关!):

  If $T$ on $N$ vertices fails LC at index $N/2 - \beta$, then $\alpha(T) \ge N/2 + \beta + 1$.

  If TIGHT: $k/\alpha \le \frac{N/2-\beta}{N/2+\beta+1}$. 对 N=60, 求解 $k/\alpha = 2/3$ 得 $\beta = 5.6$. 这种 tree 不存在则 BC 成立.

  Ramos-Sun AI 的局限: 找不到 $\beta \ge 2$ 的 counterexamples. 用 Galvin's $T_{m,t,1}$ 知道存在 large $\beta$ 的 counterexamples, 但 Galvin's trees 有 large α — AI 不会 generate.

  限制: 进一步证实 LC 是太强目标 (35K AI 反例) + 强烈支持 BC (37K 都 k/α ≥ 0.9375).

• MON.5 非实根 lobster trees

  我们 S.2 证明: lobster $k_{ij} \le 1$ 不强制实根 ($K_{1,3}$ 反例)。Wang-Zhu / Bencs 实根技术覆盖率有限。

  限制: 大量 LC 但非实根 trees (lobster 中 36%) 不能用实根技术处理。